卡方法可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)的原理、來源及注意事項(xiàng)
發(fā)布時(shí)間： 2023-03-06
在開展可靠性工作過程中，通常使用到卡方分布（Chi-Squared distribution）.比如使用卡方分布進(jìn)行分布檢驗(yàn)、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)等。這里介紹如何使用卡方分布進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)，以及為何能夠使用卡方分布進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)，它的來源和原理是什么以及需要注意哪些問題。
1、什么是卡方分布
卡方分布在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，k自由度的卡方分布是指k個(gè)獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的隨機(jī)變量的平方和的分布。換句話說，假定k個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則這k個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和則構(gòu)成了一個(gè)新的隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的分布就稱為卡方分布。需要注意，卡方分布也是伽馬分布（Gamma）的一種特例。例如下面公式，`Z_{i}`是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，Q是k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和。
`Q=\sum_{i=1}^{k}Z_{i}^{2}`
則Q為自由度為k的卡方分布。通?？梢詫懗蒨χ^{2}`。
`Q~χ^{2}(k)`
2、如何使用卡方分布進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)
使用卡方分布進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)之前，首先需要了解指數(shù)分布。指數(shù)分布的失效概率密度函數(shù)為：
`f(t)=λe^{-λt}`。
式中，`λ`是失效率。對(duì)于指數(shù)分布，平均故障前時(shí)間（MTTF）我們可以通過如下公式換算得到：
`M T T F=1/λ`
另外，對(duì)于壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品，其可靠度計(jì)算公式為：
`R(t)=e^{-λt}`
通過對(duì)壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品的失效概率密度函數(shù)公式、平均故障前時(shí)間MTTF的公式、可靠度公式，我們可以看到失效率λ、MTTF、可靠度之間是存在對(duì)應(yīng)關(guān)系的。即在設(shè)計(jì)可靠性試驗(yàn)的時(shí)候，如果需要驗(yàn)證的指標(biāo)為故障率，那么我們可以將故障率換算為MTTF；同理，如果要驗(yàn)證t時(shí)刻的可靠度，那么我們可以換算出失效率λ后再換算出MTTF。換算出MTTF值后，我們可以針對(duì)MTTF指標(biāo)進(jìn)行可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)。
對(duì)于壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品，我們通常需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的可靠性試驗(yàn)驗(yàn)證產(chǎn)品是否滿足平均故障前時(shí)間MTTF的指標(biāo)要求。一方面，我們可以直接選用GJB899A等標(biāo)準(zhǔn)推薦的試驗(yàn)方案，也可以通過卡方法設(shè)計(jì)可靠性試驗(yàn)方案。
3、卡方法進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)的模型
如前所述，對(duì)于壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品，無論是要驗(yàn)證失效率，還是可靠度，我們都可以通過上面的公式轉(zhuǎn)為驗(yàn)證MTTF值。
當(dāng)產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布時(shí)（切記是服從指數(shù)分布才可以直接這么操作），使用卡方法進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)的公式為：
`X_{CL,2r+2}^{2}/(2T)=1/(M T T F)`
即 `T=(M T T F*X_{CL,2r+2}^{2})/2`
這里的CL是置信水平，r是故障個(gè)數(shù)，T是累積試驗(yàn)時(shí)間（切記這里是累積試驗(yàn)時(shí)間，通常稱為試驗(yàn)臺(tái)時(shí)）。
上述這個(gè)公式是開展可靠性工作通常要用到的。但是，上述公式為什么可以用來進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)？它的內(nèi)在原理是什么呢？
通過對(duì)壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品的失效概率密度函數(shù)公式、平均故障前時(shí)間MTTF的公式、可靠度公式，我們可以看到失效率λ、MTTF、可靠度之間是存在對(duì)應(yīng)關(guān)系的。即在設(shè)計(jì)可靠性試驗(yàn)的時(shí)候，如果需要驗(yàn)證的指標(biāo)為故障率，那么我們可以將故障率換算為MTTF；同理，如果要驗(yàn)證t時(shí)刻的可靠度，那么我們可以換算出失效率λ后再換算出MTTF。換算出MTTF值后，我們可以針對(duì)MTTF指標(biāo)進(jìn)行可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)。
對(duì)于壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品，試驗(yàn)時(shí)間T內(nèi)的故障個(gè)數(shù)服從泊松分布，并且泊松參數(shù)為`λT`。
`P(N(T)=i)=[(λT)^{i}e^{-(λT)}]/(i!)`
通過這個(gè)公式，我們可以根據(jù)下面公式求出失效率λ的上限值
`1-CL=\sum_{i=0}^{r}[(λT)^{i}e^{-(λT)}]/(i!)`
r是總的故障個(gè)數(shù)；`CL`是置信水平；λ是失效率。為便于計(jì)算，令`x=λT`
`1-CL=\sum_{i=0}^{r}[(x)^{i}e^{-(x)}]/(i!)`
通過上面這個(gè)公式，如果給出了置信水平值`CL`，相應(yīng)的變量x的上限值就可以求出。其實(shí)，上面的公式是隨機(jī)變量`x`的累積分布函數(shù)。
`Pr(X \lt x)=CL=1-\sum_{i=0}^{r}[(x)^{i}e^{-(x)}]/(i!)`
這個(gè)公式可以與伽馬分布進(jìn)行比較。伽馬分布的累積失效概率函數(shù)（CDF）計(jì)算公式為：
`Pr(Y \lt y)=G(y;k,λ)=1-\sum_{i=0}^{k-1}[(λy)^{i}e^{-(λy)}]/(i!)`
對(duì)比上面公式，我們可以看出，變量x服從伽馬分布X~Gamma(r+1,1)。由此，根據(jù)伽馬分布的特性，我們可以得到2X~Gamma(r+1,2)。所以，`χ_{2(r+1)}^{2}`其實(shí)就是一個(gè)伽馬分布的特例，即服從Gamma(r+1,2)的伽馬分布。由于前面我們定義了`x= λT`，所以得到
`λ=X_{CL,2r+2}^{2}/(2T)=1/(M T T F)`
從上面公式可以看出，使用上面公式進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，需要注意前提，即產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布。
其實(shí)，指數(shù)分布本身也是gamma分布的一個(gè)特例。如果隨機(jī)變量X服從卡方分布，即`X~x_{2}^{2}`,那么`X~exp?(1/2)`。
4、卡方法進(jìn)行可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)的示例
可使用PosWeibull的試驗(yàn)設(shè)計(jì)模塊的可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)功能，進(jìn)行卡方法的可靠性試驗(yàn)設(shè)計(jì)。
案例1---可靠度驗(yàn)證：假設(shè)某產(chǎn)品要驗(yàn)證5000小時(shí)的可靠度達(dá)到0.97，且置信度為95%。試驗(yàn)過程中假設(shè)允許0個(gè)樣本失效，需要開展多久的試驗(yàn)才能驗(yàn)證該產(chǎn)品的可靠性滿足指標(biāo)要求？
設(shè)計(jì)方法選擇卡方法，驗(yàn)證指標(biāo)選擇可靠度，指標(biāo)值輸入0.97。置信度輸入95%，時(shí)間輸入5000小時(shí)，最大允許失效數(shù)輸入0。點(diǎn)擊計(jì)算，即可計(jì)算出所需的累積試驗(yàn)時(shí)間數(shù)為491761.36小時(shí)。這個(gè)是累積試驗(yàn)臺(tái)時(shí)。根據(jù)累積試驗(yàn)臺(tái)時(shí)以及可用的試驗(yàn)樣本個(gè)數(shù)，分配得到各樣本需要進(jìn)行的試驗(yàn)時(shí)間。
案例2---MTTF驗(yàn)證：假設(shè)某產(chǎn)品要驗(yàn)證可靠性指標(biāo)MTTF滿足3000小時(shí)的要求，且置信度為95%。試驗(yàn)過程中假設(shè)允許1個(gè)樣本失效，需要開展多久的試驗(yàn)才能驗(yàn)證該產(chǎn)品的可靠性滿足指標(biāo)要求？
設(shè)計(jì)方法選擇卡方法，驗(yàn)證指標(biāo)選擇MTTF，指標(biāo)值輸入3000。置信度輸入95%，最大允許失效數(shù)輸入1。點(diǎn)擊計(jì)算，即可計(jì)算出所需的累積試驗(yàn)時(shí)間數(shù)為14,231.59小時(shí)。這個(gè)是累積試驗(yàn)臺(tái)時(shí)。根據(jù)累積試驗(yàn)臺(tái)時(shí)以及可用的試驗(yàn)樣本個(gè)數(shù)，分配得到各樣本需要進(jìn)行的試驗(yàn)時(shí)間。