關(guān)于壽命數(shù)據(jù)分析（威布爾分析）的置信限及計算方法
1、什么是置信限
在開展壽命數(shù)據(jù)分析（威布爾分析）的時候，可靠性工程師通常有一個疑問，使用樣品的故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，得到的估計結(jié)果的精度是多少，是否可信。估計結(jié)果的上下限或范圍是多少。要回答通過故障樣本數(shù)據(jù)得到的估計結(jié)果的精度問題，需要了解可靠性工程領(lǐng)域的一個重要概念——置信限。這也是可靠性工程師工作中必須要掌握、理解的一個概念。
為了更好理解置信限的概念，這里舉一個簡單例子——假設(shè)罐子里放了較多的圍棋棋子，分別為黑色和白色棋子。第一次從罐子里抓出10個棋子，結(jié)果3個是黑色的，7個是白色棋子，由此我們估計罐子里面有30%的概率是黑色棋子。把這些棋子放回去，再抓一次，也是10個棋子，結(jié)果抓出來4個黑色的，6個白色棋子，由此我們估算罐子里有40%概率為黑色棋子。再抓一次，結(jié)果8個是黑色棋子，2個是白色棋子，由此我們估算罐子里有80%的概率為黑色棋子。此時，我們有點困惑了，到底罐子里的黑色棋子的概率是多少呢？
其實，這個問題主要是評估時所用的樣本量大小以及使用樣本估計結(jié)果估計總體的問題。當(dāng)我們抓取罐子里的棋子次數(shù)足夠多的時候，我們會發(fā)現(xiàn)黑色棋子概率估計值會逐漸接近50%。如果我們僅僅使用幾個樣本（次）的結(jié)果進(jìn)行估計的時候，可能我們得到的結(jié)果是30%~80%的概率是黑色棋子。為了評估指定樣本量下的評估結(jié)果的精度，需要引入置信限。以抓罐子的棋子為例，如果僅以前面3次抓取的黑色棋子的抓取結(jié)果進(jìn)行估計，那么估計結(jié)果為30%~80%。也就是說，使用3個樣本進(jìn)行估計時，得到的黑棋概率的估計結(jié)果（置信區(qū)間）為30%~80%。
如果回到可靠性工程角度，我們通常是通過有限的故障樣本來估計總體/全部產(chǎn)品的故障率。除非能夠獲得全部產(chǎn)品的故障數(shù)據(jù)（工程上很難獲取全部產(chǎn)品的故障數(shù)據(jù)），否則都會存在使用部分樣本來估計總體/全部產(chǎn)品的故障率的問題。這種情況下，就需要通過有限的樣本量來估計出總體產(chǎn)品的故障率的范圍。為了衡量總體產(chǎn)品故障率值落在不同區(qū)間的概率，需要使用置信區(qū)間/置信限（上限、下限）表示。
工程上常用的置信限包括費舍爾信息矩陣置信限、似然比置信限、貝塔二項置信限、貝葉斯置信限等。
2、費舍爾信息矩陣置信限
費舍爾信息矩陣置信限（Fisher Matrix Confidence Bounds）是壽命數(shù)據(jù)分析中較為常用的置信限計算方法。但是，在處理小樣本的時候，使用該置信限時需要慎重，可以考慮使用其它置信限計算方法進(jìn)行估計，比如似然比置信限。
費舍爾信息矩陣置信限計算時，首先根據(jù)費舍爾信息矩陣公式計算出的方差和協(xié)方差。如下公式所示。
$$F=\binom {-\frac {\theta^2\Lambda}{\theta\Theta_1^2}-\frac {\theta^2\Lambda}{\theta\Theta_1\theta\Theta_2}}{-\frac {\theta^2\Lambda}{\theta\Theta_2\theta\Theta_1}-\frac {\theta^2\Lambda}{\theta\Theta_2^2}}$$
然后，使用下面公式求出置信限（上限、下限）,G是參數(shù)分布函數(shù)。
$$CB=E(G)\pm z_\alpha\sqrt{Var(G)}$$
通過多個樣本的測試驗證，PosWeibull軟件的費舍爾信息矩陣置信限與國際上同類軟件的計算結(jié)果基本一致。具體情況可咨詢我們。
3、似然比置信限
3.1 似然比置信限計算公式
如前所述，在進(jìn)行壽命數(shù)據(jù)分析時，通常使用費舍爾信息矩陣置信限作為估計參數(shù)的上下限計算方法。除了費舍爾信息矩陣置信限，還包括似然比置信限、貝塔二項置信限、貝葉斯置信限等多種不同的置信限。似然比置信限（Likelihood Ratio Confidence Bounds，LRB）方法比費舍爾信息矩陣置信限更為簡單多，并且在樣本量較小的情況下，LRB方法通常比費舍爾信息矩陣置信限的精度更好。
LRB的計算是基于似然比計算公式進(jìn)行計算：
$$-2*ln(\frac {L(\theta)}{L(\hat \theta)})\ge \chi_{\alpha;k}^2$$
3.2 計算精度對比驗證
現(xiàn)以實際數(shù)據(jù)驗證PosWeibull軟件的似然比置信限算法的精度（與國際上同類軟件的計算結(jié)果對比驗證）：
（1）分布參數(shù)計算結(jié)果對比
假設(shè)故障數(shù)據(jù)為10，20，30，40，50，壽命分布為威布爾分布，使用極大似然法（MLE）進(jìn)行參數(shù)估計，分別使用PosWeibull和國際上同類軟件進(jìn)行計算和比較。
將故障數(shù)據(jù)錄入到PosWeibull軟件，計算得到威布爾分布參數(shù)η和β分別為η=33.9429（國際上同類軟件計算結(jié)果為η=33.9428）、β=2.29381（國際上同類軟件計算結(jié)果為β=2.2938）。由此可以看出，分布參數(shù)估計結(jié)果相同。
（2）分布參數(shù)的置信限計算結(jié)果對比
計算時，選擇基于似然比置信限方法計算β參數(shù)的雙側(cè)置信限，即計算β參數(shù)的上限和下限值。PosWeibull軟件計算得到的β參數(shù)下限為1.142328195（國際上同類軟件計算結(jié)果為1.142），β參數(shù)的下限值為3.949903234（國際上同類軟件計算結(jié)果為3.950）。從計算結(jié)果可以看出，所計算得到的結(jié)果相同。
（3）故障時間的置信限計算結(jié)果對比
選擇基于似然比置信限方法計算，可靠度選取R（t）=50%。PosWeibull軟件計算得到的故障時間下限值t1為17.38853（國際同類軟件計算結(jié)果為17.389），故障時間上限值t2為41.71422（國際上同類軟件計算結(jié)果為41.714）。從計算結(jié)果可以看出，所計算得到的故障時間上下限結(jié)果相同。
計算結(jié)果.png)
圖1 PosWeibull的分布參數(shù)計算結(jié)果
果（國外同類軟件）.png)
圖2 威布爾分布β值的似然比置信限計算結(jié)果（國際上同類軟件）
果.png)
圖3 PosWeibull計算得到的β值置信限結(jié)果
果（國際同類軟件）.png)
圖4 故障時間的似然比置信限計算結(jié)果（國際上同類軟件）
果（PosWeibull）.png)
圖5 PosWeibull軟件的故障時間似然比置信限結(jié)果
從結(jié)果對比可以看出，所計算得到的β參數(shù)上下限是基本相同的。
四、貝塔二項置信限
貝塔二項置信限（Beta Binomial Confidence Bounds）的計算方法類似于計算中值秩的方法。貝塔二項置信限是一種非參數(shù)置信限計算方法。貝塔二項置信限方法可以用于任何分布，而不必根據(jù)假設(shè)的分布對計算方程進(jìn)行調(diào)整。
$$p= \sum_{k=j}^{N} \binom{N}{k}Z^k(1-Z)^{N-k}$$
五、貝葉斯置信限
貝葉斯置信限（Bayesian Confidence Bounds）是基于貝葉斯規(guī)則進(jìn)行推到得到的。貝葉斯公式為：
$$CL= \frac{\int_ \xi L(Data|\theta)\phi(\theta)d\theta}{\int_ \zeta L(Data|\theta)\phi(\theta)d\theta}$$
六、其它置信限
其它置信限還包括仿真置信限等。關(guān)于其它置信限的介紹，請關(guān)注后續(xù)更新。